En una circunferencia tracemos una cuerda cualquiera PQ. Sean M y R los puntos de intersección de la mediatriz m de la cuerda PQ con la circunferencia. Consideremos un punto A sobre el arco de circunferencia comprendido entre los puntos Q y P como se muestra en la figura 1.

Nota: Ver applet en html aquí.

Probar que la recta l que pasa por los puntos A y M es bisectriz del ángulo PAQ. De manera inversa, probar que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar necesariamente por el punto M.

Demostración:

Primero probemos que si l es una bisectriz del ángulo PAQ, entonces l debe pasar por el punto M.

Supongamos que no es así, es decir, que la bisectriz l corta en otro punto M’ diferente de M. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto está como lo muestra la figura 1:

Figura 1

Como PQ es una cuerda, tenemos que el ángulo PAQ es igual al ángulo PRQ.

Figura 2

Como m es mediatriz de PQ, en particular es bisectriz del ángulo PRQ. Esto implica que el ángulo PAM’ sea igual al ángulo PAM porque l es bisectriz de PAQ. Pero esto no puede ser porque M y M’ son puntos diferentes. Por lo tanto, la bisectriz l del ángulo PAQ debe pasar necesariamente por el punto M.

Figura 3

Ahora, probemos que la recta l, la cual pasa por los puntos A y M, es bisectriz del ángulo PAQ.

Figura 4

Tracemos los segmentos PA, QA, PR y QR.

Figura 5

Es claro que los ángulos PRQ y PAQ son iguales. Consideremos los ángulos PRM y PAM

Figura 6

Ambos ángulos son iguales ya que están comprendidos dentro de la misma cuerda PM. Ahora, consideremos el punto A’, simétrico de A con respecto a la mediatriz m. Tracemos la recta l’ y los segmentos PA’ y QA’.

Figura 7

Es fácil ver que los ángulos QRM y QA’M son iguales. De lo anterior, se puede concluir que los ángulos PAM y MAQ son iguales.

Figura 8

Por lo tanto, la recta l que pasa por los puntos M y A, es bisectriz del ángulo PAQ.