Introducción

Estableciendo la escena con un ejemplo de la carrera 20.

En una forma general, gracias al análisis de sistemas, las situaciones de enseñanza se pueden describir y clasificar en términos de intercambios entre estudiantes, maestros y el milieu (medio). Como un ejemplo, estudiaremos la lección de “Carrera 20”. Desde este estudio, derivaremos una clasificación general de las situaciones didácticas.

1. Introducción a la carrera 20.

El propósito de esta lección fue considerar la división (en circunstancias en las cuales el “significado” de la operación no conformó lo que se aprendió) y adoptar el descubrimiento y la demostración, por los niños, de una secuencia de teoremas.

1.1 El Juego

El juego se realiza por parejas. Cada jugador de una pareja trata de decir “20” agregando 1 o 2 al número dado por el otro. Uno de ellos comienza diciendo “1” o “2” (por ejemplo, “1”); el otro continua agregando 1 o 2 a este número (“2” por ejemplo) y diciendo el resultado (el cual sería “3” en este ejemplo); la primer persona entonces continua agregando 1 o 2 a este número (“1” por ejemplo) y diciendo el resultado (el cual sería “4” en este ejemplo); y así sucesivamente.

1.2 Descripción de las fases del juego

La primera sección es una descripción superficial de las fases del juego, todas se describirán con más detalle posteriormente. Lo incluimos para hacer la lectura más fácil.

Fase 1: Exploración de las reglas

El maestro explica la reglas del juego y comienza jugando un ronda en el pizarrón contra uno de los niños, entonces cede su lugar a un segundo niño.

Fase 2: Jugando uno contra uno

La clase entonces se divide en parejas (se forman equipos de 2); los miembros de cada pareja juegan uno contra el otro. Escriben los números elegidos en una hoja de papel en lados opuestos de una línea. Esta fase consiste alrededor de 4 rondas y no toma más de 10 minutos.

Comentario: Durante esta fase, los niños aplican las reglas.

Ciertos niños, sin estar concientes de ellos, se dan cuenta que diciendo números al azar no una buena estrategia; prueban los límites del juego en un nivel de acción y decisiones inmediatas, y se proveen ellos mismos con una secuencia de ejemplos. Algunos de los niños descubren implícitamente la ventaja de decir “17”.

Fase 3: Jugando Grupo contra Grupo (seis o siete rondas, 15-20 minutos)

Los niños se dividen en dos grupos. En cada uno, el maestro nombra al azar a un niño para representar al equipo para cada ronda. Cada niño pasará al pizarrón para defender su grupo enfrente del todo el grupo; si gana, el grupo recibe un punto. Los niños se darán cuenta muy rápido de la necesidad de planear juntos y discutir dentro de cada grupo para compartir estrategias entre ellos mismos. Algunos reconocen directamente desde el comienzo que “Tú tienes que decir 17”

Fase 4: Juego de descubrimiento (20-30 minutos)

El maestro entonces pregunta a los niños poner proposiciones. Estas son los descubrimientos que hicieron, las cuales les permitieron ganar. El maestro escribe estos descubrimientos en el pizarrón conforme son presentados por cada grupo en turno; ellos entonces los verifican el otro grupo y los aceptan o refutan, según sea el caso. Si son aceptados, permanecen en el pizarrón.

Figura 1 Pág. 4

Cada niño que pone una proposición debe probar a un oponente que es verdadera o falsa, ya sea, jugando o con una demostración intelectual.

Para hacer el juego más interesante, se puede adoptar la siguiente regla:

Para cada proposición aceptada por la clase si valor es de un punto;

Para cada proposición que se pruebe como falsa, su valor es de 3 puntos al grupo que lo haga.

Comentario: Si el juego de descubrimiento llega a detenerse (los niños no encuentran más proposiciones para poner enfrente), los equipos pueden regresar a jugar “¿Quién dirá 20?”.

Observación de una lección particular: Muy rápidamente se hicieron las siguientes proposiciones:

-Si escribo “17”, estoy seguro de ganar;

-Si escribo “14”, estoy también seguro de ganar.

Entonces los descubrimientos se vuelven mucho menores.

Ejemplo: Si sigo “16”, mi oponente dice “17” y ganaré. Si digo “18”, perderé, etc.

En este punto, el juego de descubrimiento fue abandonado a favor del equipo del juego “20”. Al final de dos rondas, los niños descubrieron que cuando dicen “11” entonces “14”, entonces “17”, y ellos ganarían. Discusiones intensas surgieron acerca del “5”; un niño que escribió 5 durante el primer juego en pareja que había perdido. Otro niño le mostró que si sabía cómo jugar, podría ganar diciendo “5”. Si el no sabía cómo jugar, claramente podría perder. Estas pruebas se completaron al jugar más avanzado (comenzando con 5, por ejemplo). Después de una hora, los niños habían descubierto que, para ganar, deben decir 2, 5, 8, 11, 14, o 17.

1.3 Comentarios

Esta situación se reprodujo bajo la observación sesenta veces. Además, cada una de sus fases era el objeto de experimentación y estudio clínico. Las observaciones se llevaron a cabo en un periodo de tres años por un grupo del IREM de Burdeos que consiste de un Asistente de Profesor de Matemáticas, siete psicólogos académicos y un profesor de secundaria especializado en ciencias de la computación. En lugar de la naturaleza no-dirigida y no-informativa de las intervenciones del maestro; las lecciones procedieron en una manera considerablemente comparables para las primeras dos fases. Como un resultado, podemos introducir nuestras consideraciones como propiedades de la situación. Estos comentarios son las observaciones clínicas (CO), las observaciones estadísticas (SO) o axiomas (AS) o teoremas (TS) de la Teoría de las Situaciones Didácticas.

1. Las estrategias y descubrimientos son usadas implícitamente antes de que se formulase para responder a las necesidades de una acción continuada. El ejemplo: La sucesión 5, 8, 11, 14, 17 ocurre desproporcionadamente a menudo antes de que los estudiantes hayan formulado la necesidad de "jugar el 14" (SO).

2. La formulación tiene lugar después de la convicción y antes de la prueba para responder a las necesidades de comunicar una acción. Varias formulaciones preceden la prueba y se apoyan al mismo tiempo por la efectividad y racionalidad (SO).

3. Teoremas establecidos no sirven para apoyar al otro de manera inmediata; su articulación sólo se descubre al final. La misma prueba se descubre varias veces, incluso por el mismo niño (SO).

4. Los niños que pierden una ronda son quienes más quieren explicar su falla o las condiciones para tener éxito (CO).

5. La prueba consigue su valor matemático cuando se ha probado como un medio de convencer y es obligatoria para ser convencido; esto sólo puede ser negociado entre "iguales", entre los niños. El maestro debe hacer las preguntas otra vez al grupo (AS).

6. La explicación debe ser necesaria, técnicamente y sociológicamente; si el resultado es obvio o como lo describimos en un principio- generalmente aceptado, sólo una receta es obtenida. (TS)

2. Primera fase de la lección: Instrucción

De esta manera, en la situación que acabamos de observar, la comunicación comenzó con una instrucción.

El maestro habló acerca del juego; comunico un mensaje, el cual, contenía las reglas del juego para que los estudiantes las internalizaran (adoptarán) y aplicaran. Este mensaje no contenía nuevas palabras; se asumía que los estudiantes entendían los términos y su organización (es decir, las fases).

Figura 2 Pág. 6

La declaración del conjunto total de reglas podría haber sido muy larga para algunos niños. Así, la comunicación del mensaje se acompaña por una acción del niño (haciéndolo jugar).

El maestro simula la situación en la cual el niño se enfrentará durante el curso de un juego normal. En este caso, la situación para el niño es la secuencia de números en el juego.

Ejemplo: El niño juega 1; el maestro, 3; el niño, 5; el maestro, 6. Para el niño, la situación en este momento consiste de la secuencia de movimientos ilustrados abajo;

Figura 3 Pág. 6

Este es un recurso de información para el y actúa en una situación, al decidir agregar un número.

Figura 4 Pág. 6

Al mismo tiempo y mientras sigue jugando, el maestro comenta acerca de las decisiones e ilustra las reglas del argumento. Él habla acerca de esas reglas, comparándolas con las circunstancias de la situación.

Figura 5 Pág. 7

Más temprano, cuando las instrucciones se dieron, el maestro estableció las reglas y el niño tuvo que imaginar las situaciones correspondientes del juego. Ahora, las reglas se comunican a él con las circunstancias correspondientes y alternantes; 2 es jugado y 3 es comunicado. El propósito de esta secuencia es todavía la comunicación de una instrucción pero se ha puesto dentro de una fase de acción.

Comentario: El maestro quiere comunicar al niño una regla de acción que tiene en su repertorio. Transforma esta regla dentro de un mensaje apropiado al medio por significados de lo cual él puede comunicar con el niño. Aquí, se comunica con sonido. Él, por tanto, expresa las reglas en el código hablado del lenguaje del niño.

Para el niño, este mensaje es una fuente de información (la cual interpreta siguiendo sus propios códigos) comenzando con lo que reconstruye de un mensaje con significado. El significado dado por el niño no necesariamente coincide con el significado que el maestro intentó transmitir.

En el caso de una instrucción, se espera también que el pupilo interprete el contenido del mensaje comunicado por el maestro cono una regla de acción. Él debe, por tanto, internalizarlo (adoptarlo) y recordarlo.

El propósito de practicar el juego al mismo tiempo que se da la instrucción, es para asegurar que las reglas internalizadas por el niño sean las mismas que aquellas dadas por el maestro; la acción reduce la ambigüedad del mensaje introduciendo una respuesta.

Llamamos una influencia de la situación en el pupilo “retroalimentación”. El niño recibe esta influencia como una aprobación negativa o positiva relativa a su acción, la cual le permite ajustar esta acción, para aceptar o rechazar una hipótesis, para elegir la mejor solución de entre muchas (la única que mejore la satisfacción obtenida durante la acción).

Figura 6.

Comentario:

Esta respuesta debe ser cercanamente asociada con el aprendizaje, el cual el maestro está intentando hacer que pase.

Aquí, la comunicación de la instrucción es controlada por el maestro con la ayuda de la respuesta; si el estudiante no aplica una instrucción correctamente, entonces no la ha aprendido correctamente (y debe repetirlo).

El estudiante, por su parte, tiene respuesta, la cual es la evaluación que da el maestro acerca de la validez de las reglas y las proposiciones que él mismo hace.

3. Acción-Situación, Patrón, Dialéctica

3.1. Primera parte del juego (uno contra el otro)

La primer parte del juego da cuenta de una situación típica de lo que nosotros llamamos una “situación de acción”.

Los niños juegan dos por dos, uno contra el otro; cada estudiante es enfrentado con una situación: la secuencia de números que ya se jugaron. Cuando su pareja ha jugado, él debe tomar una decisión y actuar en una situación proponiendo un número él mismo (después de haber, en este caso, analizado la situación y obtener información de ello).

Figura 7 Pág. 9

En cada movimiento, la situación se modifica (se modifica por la pareja). Al final de algunos movimientos, la penalidad ocurre: la ronda se pierde o se gana.

Dentro de una situación de acción, todo lo que influye en el estudiante o lo que él influye se le conoce como “milieu” Puede ser que incluya tanto al maestro como al estudiante. Este es un patrón muy general. Todas las situaciones de enseñanza son casos particulares del milieu.

3.2. Dialéctica de acción

Mientras el estudiante juega nuevas rondas, desarrolla estrategias, para decir razones para jugar con un número en lugar de otro. Por ejemplo, jugará 10 en lugar de 9, porque piensa, incorrectamente, que el juego algo con la cuenta decimal. Quizá juega 13 porque considera bastante fortuna, un número mágico, o 17 porque ha notado intuitivamente que ya ha ganado después de jugar con 17 o, por otra parte, se ha encontrado en mala forma después de que su contrincante ha jugado con 17.

Podría pensar también adoptar la estrategia que consiste en elegir aleatoriamente uno de los dos posibles números.

Generalmente, una estrategia se adopta por el rechazo intuitivo o racional de una primera estrategia. Una nueva estrategia es, por tanto, adoptada como un resultado de experimentación. Es aceptada o rechazada siguiendo la evaluación del estudiante de su eficacia; esta evaluación puede ser implícita.

La secuencia de “situaciones de acción” constituye el proceso por el cual el estudiante forma estrategias; es decir, “enseña él mismo” un método de resolver su problema.

Esta sucesión de interacciones entre el estudiante y el milieu constituye lo que llamamos una “dialéctica de acción”. Usamos la palabra “dialéctica” en lugar de la palabra “interacción” porque, por un lado, el estudiante es capas de anticipar los resultados de sus elecciones y, por otro lado, sus estrategias son, de alguna forma, proposiciones confirmadas o invalidadas por la experimentación en un tipo de diálogo con la situación.

En el curso de esta “dialéctica de acción”, el niño organiza sus estrategias y construye una representación de la situación la cual sirve como un “modelo” y guía para él al momento de tomar decisiones. Este “modelo” es una ejemplo de las relaciones entre ciertos objetos que él ha percibido como relevantes en la situación.

Ejemplo: Al comienzo del juego, todos los números al niño le parecen ser de igual importancia. Al final de esta fase, cuando comienza a conocer que cuando él juega 17, siempre ganará, la elección de otros números (18 o 19) no le parecerá relevante (ellos no tienen un papel en su decisión).

El conjunto de relaciones, “Si yo juego 14 o 17, puedo ganar”, pueden permanecer más o menos implícitas; el niño juega de acuerdo al modelo que se pueda formular con anterioridad. En general, seis o siete rondas del juego se necesitan entre el momento cuando el número 17 se juega en una manera preferencial (tercer ronda) y el momento cuando ciertos niños probablemente lo establecen, “para ganar, debo jugar 17”.

Usamos el término “modelo implícito” par describir el conjunto de relaciones o reglas de acuerdo a las cuales el estudiante toma sus decisiones sin que sea posible de que sea conciente de ellas y a fortiori (más obligadamente) para formularlas (lo cual no significa que una regla siempre aparezca sin que alguien la formule).

La mayoría de situaciones didácticas emergen de un esquema particular de acción. Pero con reservamos el término “dialéctica de acción” en su estricto significado para las situaciones didácticas las cuales no lo hacen necesarias para el niño para formular el modelo usado.

Algunos modelos implícitos corresponden, al final del aprendizaje, a piezas de “conocimiento” el cual ha sido enseñado.

Observación: Este modelo implícito no coincide con el todo del conocimiento. Puede pasar que durante el aprendizaje de algoritmos, el niño desarrolle, sin que el maestro lo sepa, modelos incorrecto con los cuales justificar (en una buena o no tan buena manera) el conocimiento adquirido. (TS y SO). Se observó, por ejemplo, que tan pronto en la tercera ronda los niños juegan “17” en preferencia a “16” o “18”. En la sexta ronda, prefieren jugar con el 14 antes de establecer el por qué. (SO).

4. Formulación-Situación, Patrón, Dialéctica

4.1. Segunda parte del juego (grupo contra grupo)

En esa segunda parte del juego, los niños forman dos grupos iguales, y dos diferentes fases se pueden observar alternadamente:

a) cuando el grupo representativo está en el pizarrón y juega;

b) cuando hay discusión dentro del grupo.

En la primera fase, un niño que no está en el pizarrón toma nota de toda la información presente al observar lo que los dos representantes escriben, pero no puede actuar ni intervenir.

Quienquiera que este jugando en el pizarrón está en la situación didáctica de acción.

Figura 8 Pág. 10

Durante las fases de discusión dentro de los grupos, el milieu para cada uno de los estudiantes, consiste de todas las rondas que se jugaron y en particular, la última ronda escrita en el pizarrón.

Para ganar, no es suficiente para el estudiante, conocer cómo se juega (es decir, tener un modelo implícito) – debe indicar a sus compañeros cuál estrategia propone; esta es la única manera que tiene para actuar en la situación que sigue.

Cada niño es por lo tanto, guiado para anticipar, y ser conciente de las estrategias las cuales usaría (primera fase, 2a).

Su único medio de acción es formular esas estrategias. Es sometido a dos tipos de reacciones:

- una reacción inmediata (al momento de la formulación) desde la gente con quien se ha tenido la discusión, quien muestra que están entendiendo o no su sugerencia (fase 2b);

- una reacción desde el milieu, al momento de la siguiente ronda jugada, si la estrategia formulada y aplicada es con la que se está ganando o no.

Figura 9 Pág. 11

La formulación de una estrategia es el único medio que un estudiante tiene para obtenerlo y que sea aplicado por el estudiante en el pizarrón. Esta segunda fase (b: discusión dentro del grupo) logra que llamemos la situación didáctica de formulación. La figura 9 es un caso especial del esquema de acción, un caso en el cual esta acción es posible sólo si está dada en la formulación. En el presente caso, las formulaciones son muy fáciles y no dan origen a la construcción de cualquier lenguaje especial. (Cada niño es capaz casi inmediatamente de establecer, “Tienes que jugar tal y tal número”.)

4.2 Dialéctica de formulación

Una dialéctica de formulación consistiría del establecimiento progresivo de un lenguaje que cada uno pueda entender, el cual tomaría en consideración los objetos y las relaciones relevantes de la situación en una forma adecuada (en otras palabras, permitiendo acciones y razonamiento). En cada momento, este lenguaje construido sería robado desde el punto de vista de la inteligibilidad, fácil de construcción y la longitud de los mensajes que permitan ser intercambiados. La construcción de tal lenguaje o código (repertorio, vocabulario, algunas veces sintaxis) dentro de un lenguaje ordinario un lenguaje formalizado, hace posible la explicación de acciones y modelos de acción.

El esquema de formulación lo gobiernan las leyes de comunicación:

- condiciones cualitativas de inteligibilidad (en repertorio y sintaxis),

- condiciones cuantitativas de inteligibilidad (en expresión, ruido, ambigüedad, redundancia, capacidad para comparar y controlar condiciones para comenzar la redundancia, etc.)

Esto requiere los siguientes términos y nociones para usarse con facilidad:

- “Jugaste tal y tal número después de que el otro jugo tal y tal número”

- “Debiste haber...”

- “Necesitas jugar,... tú jugaste...”

Esto requiere, también, la discusión entre “lo que se quiere” y “lo que es posible”, entre lo que ciertamente pasará y lo que podría pasar. Si alguno de los niños quienes nos estamos dirigiendo no tienen suficiente dominio de ese lenguaje (quizá porque son muy jóvenes), la dialéctica de formulación funcionará para ellos; tendrán que construir un vocabulario eficiente (este serpa, por tanto, una ejercicio de aprendizaje sólo para aquellos que lo necesiten).

Durante esta fase, no puede pasar que las proposiciones de un estudiante son discutidas por otro estudiante, no desde el punto de vista del lenguaje (el mensaje es o no entendido) pero desde el punto de vista de la validez de el contenido (es decir, su verdad o su eficacia).

Ejemplo:

“Debemos jugar 15”, dice un niño.

“No, porque en una ronda, yo jugué 15 y perdí”, responde otro niño. O,

“¿porqué debemos jugar 17?”

Llamamos a estas discusiones espontáneas acerca de la validez de estrategias “fases de validación”. Aparecen aquí como medios de acción. Los estudiantes las usan como medios de animar a sus compañeros para completar la acción propuesta. Los medios de transmitir convicción, pueden variar ampliamente (autoridad, retórica, pragmatismo, valides, lógica).

En la dialéctica de formulación, estos medios están fuera del control del estudiante y permanecen implícitos, diferente a otras validaciones las cuales aparecen como el propósito o objeto de estudio. Para obtener el último, uno debe organizar un nuevo tipo de situación didáctica.

5. Validación-Situación, Patrón, Dialéctica

5.1. Tercera parte del juego (establecimiento de teoremas)

En esta tercera parte del juego, los pupilos están todavía divididos en dos grupos – A y B, los mismos grupos como en la parte previa.

Instrucciones:

Vamos a tener una competencia de teorema. Todos somos matemáticos, y vamos a cooperar en los avances e la ciencia agregando declaraciones ‘verdaderas’, de las cuales estaremos seguros de ellas y que serán útiles para ganar.

Para agregar un teorema, primero tienes que hacer alguna declaración, la cual etiquetarán una ‘conjetura’. Cuando esta conjetura ha sido aceptada por cada quien, entonces se convertirá en nuestro teorema.

Escribiré las conjeturas propuestas alternativamente por el grupo A y el grupo B en el pizarrón de esta manera:

Figura 10 Pág. 13

El grupo que propone una conjetura pone un punto en juego. Dependiendo de lo que pase después, el punto se dará a la puntuación de alguno de los dos grupos.

Podrías deliberar con cada uno antes de proponer una declaración. Explicaré el resto de las reglas conforme el juego siga.

Comentario: Las diferentes a las fases 1 y 2, esta no procede en una manera estandarizada. Sólo las reglas y resultados permanecen iguales. Pero no se pueden explicar al estudiante progresivamente, como el juego avanza, y dependiendo de cómo vaya. Enlistando las reglas es innecesario y difícil de entender. Aquí las comunicaremos al lector describiendo el desarrollo de una clase ficticia.

Maestro: Grupo A, ¿pueden hacer una declaración la cual sea verdad y les ayudara a ganar? Ustedes podrían consultar con cada uno de ustedes antes de hacer su propuesta. Ustedes son los que proponen.

Pupilo en A: Puedes estar seguro de ganar si dices 17.

Maestro: Escribiré en el pizarrón “17 es un número para ganar”,

Pupilo en A: Sí, eso es lo que quisimos decir

Otro pupilo en B: ¡Pero yo no estoy de acuerdo! La gente ha jugado 17 y perdió. Puedo jugar 17 y perder si quiero.

Maestro: Espera. Cuando una conjetura se ha escrito en el pizarrón, el otro equipo –en este caso el B- tiene que decidir

- si la declara cierta, en cuyo caso el otro equipo gana el punto;

- si la declara falsa, en cuyo caso ese grupo vuelve el turno al que propone, pero a la conjetura opuesta. Por ejemplo, si el grupo B decide retar la conjetura de A, escribiré “17 no es un número ganador”, lo propone B. Entonces habrá dos puntos en juego.

- Puedes decir sólo que se duda acerca de ella.

Discusión entre los niños…

Pupilo en B: ¿Y si decimos que tenemos duda?

Maestro: te vuelves el oponente. Pones dos puntos más en juego, para agregar.

El oponente puede

- hacer la propuesta de jugar 5 rondas de la carrera 20 en el cual el que propone requiere aplicar su conjetura. Los puntos ganados por el uno u otro se marcan en el marcador. El oponente puede hacer a quien propone seguir en el juego hasta que alguno se retracte de su conjetura.

- Pedir al que propone, una prueba matemática apropiadamente convincente. En este caso, el que convence al otro gana 5 puntos, el que es convencido gana 2 puntos.

Entonces todos, se supone, aplican esta declaración en las rondas que se juegan después. La conjetura se vuelve un teorema.

Pupilo b en B: Nosotros c4 no estamos de acuerdo con el resto del grupo B. Queremos decir que tenemos duda del teorema.

Maestro: ¿Quieres hacer que A empiece con 17?

Pupilo b en B: ummmm… no. Queremos pedir una prueba matemática.

Otros pupilos en B: No. No. Es algo seguro –debes jugar 17. Vamos a perder puntos.

Maestro: OK –como un ejemplo, van a completar una discusión entre los miembros del grupo B con cada uno, siguiendo las mismas reglas. Obviamente no hay puntos a jugar, así que están todos en el mismo grupo.

Maestro a los otros en B: Entendamos la prueba que A puede dar a “b” así que ustedes pueden salvar los puntos. En cualquier caso, la gente puede pedir pruebas de teoremas, aún cuando todos estén de acuerdo con ellos.

5.2 La Actitud de prueba, prueba y prueba matemática.

Las razones que un niño puede dar para convencer a otro, esos que pueden ser aceptador sin “pérdida de dignidad”, deben esbozarse progresivamente, construido, evaluado, formulado, discutido y acordado.

Hacer matemáticas no consiste sólo de recibir, aprender y mandar mensajes matemáticos relevantes (apropiados).

Declarar un teorema no es comunicar información, es confirmar que lo que uno esta diciendo es verdad en un cierto sistema; es declararse listo para sostener una opinión, para estar listo para probarlo.

Es por tanto, no una cuestión de lo que el niño sabe de matemáticas, sino de usarla como una razón para aceptar o rechazar una proposición (teorema), una estrategia, un modelo, que requiera una actitud de prueba. Esta actitud no es innata. Se desarrolla y sostiene por situaciones didácticas particulares las cuales discutiremos ahora.

En matemáticas, el “por qué” no se puede aprender sólo refiriéndose a la autoridad del adulto. La verdad no conforme a la regla, a una convención social como la “belleza” o lo “bueno”. Requiere un soporte, una convicción personal, una internalización, la cual por definición, no se puede recibir de otros sin la perdida de su valor. Pensamos que el conocimiento empieza a construirse en una génesis de la cual Piaget ha indicado las características esenciales, pero e las cuales involucra relaciones específicas con el milieu, particularmente después de comenzar la escuela. Por lo tanto, consideramos que para el niño, hacer matemáticas es primeramente, una actividad social y no sólo individual.

El pasaje del pensamiento natural al uso de pensamiento lógico como el que regula el razonamiento matemático es acompañado por construcción, rechazo, el uso de diferentes métodos de prueba: retórica, pragmática, semántica y sintáctica.

La consideración de una prueba es una actitud reflexiva. La prueba debe formularse y presentarse mientras esta siendo considerada, y por tanto más frecuentemente escrita, y debe ser posible compararla con otras pruebas escritas que también traten de la misma situación.

En general, la prueba se formulará sólo después de haberla usado y examinada como una regla explícita ya sea una acción o en una discusión.

5.3. Situación dialéctica de validación

El niño esta tratando con relaciones entre una situación “real”, concreta o no, y uno o varias declaraciones formuladas acerca del tema en esta situación.

Estas declaraciones pueden ser mensajes intercambiados previamente al momento de una dialéctica de formulación, tiene que hacerse con estrategias y descripciones también como con declaraciones.

Ejemplo: “Dices que ‘debemos jugar 14’. Pero en esta ronda, jugué 14 y perdí”.

El niño debe tomar declaraciones acerca de estas relaciones. La situación favorable por tanto obedecerá un esquema de formulación. Pero estas declaraciones deben ser tema para discutir en la parte del interlocutor, quien no puede ser, como previamente, un simple receptor. Esto significa que el interlocutor debe ser capaz de responder al niño que se está juzgando; el niño puede protestar, rechazar una razón la cual juzgue falsa, y probarla en su turno. Ambos deben estar en una a priori posición simétrica tanto como del punto de vista de la información, la cual retienen como lo de los medios de respuesta. Además, la discusión entre el maestro y el estudiante, es claramente desigual, aún cuando el maestro practica un maieutic refinado para reducir su autoridad.

Si uno desea evitar tener sofismas, consistencia retórica y de autoridad que toma lugar, lógica y la eficacia de la prueba, uno debe dejar que la discusión pierda contacto con la situación que refleja esta doble confrontación (R1 y R2) necesariamente.

Ejemplo en la “carrera 20”:

Una declaración se puede confrontar con la realidad de muchas maneras:

- uno puede tomar de las rondas del juego (que no siempre provee una prueba);

- uno hace que la otra persona juegue la estrategia que propone;

- uno hace que otra persona juegue contra la estrategia que rechaza;

- uno se beneficia de investigar intelectualmente un error.

La Figura 11 resulta de esas consideraciones.

Figura 11 Pág. 16

Comentario: Este patrón es característico de situaciones sociales que involucran la construcción o reorganización de un repertorio, y en particular de un repertorio de teoremas, i.e., una teoría.

5.4. Dialéctica de validación

El esquema dialéctico de validación, motiva a los estudiantes a discutir una situación y favorece la formulación de sus validaciones implícitas, pero su razonamiento es frecuentemente insuficiente, incorrecto y tonto.

Adoptan falsas teorías, aceptan pruebas falsas e insuficientes. La situación didáctica debe llevarlos a evolucionar sus opiniones, a reemplazar su falsa teoría con una verdadera. Esta evolución tiene un carácter dialéctico también; una hipótesis debe ser aceptada suficientemente –al menos provisionalmente- aún para mostrar que es falsa.

El sistema de prueba funciona alternativamente

- como un medio implícito; por ejemplo los niños tácitamente aceptan hechos no formulados o un método de prueba (modelo lógico o implícito);

- como un medo de comunicar explícitamente una razón avanzada;

- como un objeto de estudio sometido concientemente a la prueba lógica, semántica o pragmática.

En la realidad del salón de clases, no es posible establecer un orden de aparición. De esta manera, “una teoría matemática” se construye progresivamente. “Progresivamente” no significa seguir un patrón axiomático no por un incremento regular en el número de teoremas.

Ejemplos de buenas y malas razones:

Razones intelectuales: Si juego 17, gano porque mi oponente puede jugar 18 o 19 y yo juego 20 en ambos casos.

Razones semánticas: Si sigo 15, pierdo porque cada vez que juego 15, he perdido.

Razones pragmáticas: Jugando con 14, yo gano; prueba, déjanos hacerla, yo gano (el niño examina lo que dice, pero realmente juega una ronda).

Los niños deben darse la oportunidad de descubrir sus errores. Veremos más adelante que esto es una necesidad en la construcción del conocimiento.

Hemos distinguido dentro de la situación didáctica varios tipos de respuestas. Que corresponden a diferentes tipos de prueba (intelectual, semántica, pragmática). Una dialéctica de validación consistirá de varias dialécticas particulares de acción o de formulación (para establecer una terminología, por ejemplo).

Es claro que, en todo caso, que una dialéctica de validación es por sí misma una dialéctica de formulación y por tanto una dialéctica de acción.

Comentarios: ¿Cuáles son los resultados de varias fases en la producción de teoremas? La fase de acción, completada por sí misma, produciría un número significativo de números para ganar (teoremas implícitos) después de un cierto número de rondas, como se muestra en la siguiente tabla:

Figura 12 Pág. 18

Resultados generales y conclusiones: Los descubrimientos se hacen comenzando con el final, “20”, y trabajando hacia atrás. Ocurren en secuencia, pero lentos como van avanzando. El esquema de prueba nos es por sí mismo reforzado, y no se aplica muy bien, aunque el razonando por recurrencia aparece en la situación de prueba. Las formulaciones no aparecen hasta después del teorema implícito correspondiente. Debates informales entre estudiantes en la fase dos, no produce nuevos teoremas y no refuerza convicciones –por el contrario, causa a los estudiantes que hicieron alguna prueba hacerlos dudar. La situación de validación permite la organización de pruebas y de una prueba matemática la cual por sí misma sigue la progresión del juego. La institucionalización es, en cualquier caso, necesaria para sostener las prácticas y su uso en otro sitio.

Para el juego de la “carrera 7” hay un modelo estocástico de aprendizaje simple el cual da una explicación de la curva de aprendizaje observada. Para la “carrera 20” no hay ninguno. El pupilo implementa estrategias cognitivas. Por ejemplo, establece los términos para comenzar y terminar, entonces juega sistemáticamente arriba de un número seis o siete menos de lo que el último teorema y procede con prueba y error.

Referencia

Traducción del primer capítulo de:

Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.