Ilusión de Movimiento: Proyección ortográfica

Es posible realizar proyecciones del espacio tridimensional sobre el plano de dos dimensiones, las cuales se denominan Proyecciones ortográficas.

Las proyecciones ortogonales son muy útiles para describir el movimiento de objetos que se mueven en el espacio por medio de una proyección al plano. También se utilizan para realizar animaciones de objetos en tercera dimensión. Aunque en realidad, lo que se crea es una ilusión de movimiento tridimensional.

Las transformaciones de las coordenadas de un punto (o puntos) del espacio se realizan mediante un cambio de origen (o transformación lineal), cambio de escala, y giros respecto a los ejes (de la misma forma se pueden hacer transformaciones en el plano).

Si queremos mover el plano por medio de giros con respecto a tres ángulos diferentes a, b, y g, entonces podemos considerar las siguientes matrices:

1	0	0
0	cos(?)	sen(?)
0	-sen(?)	cos(?)

cos(?)	0	sen(?)
0	1	0
sen(?)	0	cos(?)

cos(?)	sen(?)	0
sen(?)	cos(?)	0
0	0	1

Estas matrices corresponden a los movimientos de los planos XY, YZ y XZ.

Para mover un punto en el espacio (x,y,z), primero se debe realizar la multiplicación de las matrices

M=A·B·C

Después, para obtener el nuevo punto (x’,y’,z’), se multiplica la matriz M por (x,y,z). Esto es

(x’,y’,z’)=M·(x,y,z).

La matriz M está dada por la siguiente expresión:

M =

cos(?)·cos(?)	-cos(?)·sen(?)	sen(?)
cos(?)·sen(?)+sen(?)·sen(?)·cos(?)	cos(?)·cos(?)-sen(?)·sen(?)·sen(?)	-sen(?)·cos(?)
sen(?)·sen(?)-cos(?)·sen(?)·cos(?)	cos(?)·sen(?)·sen(?)+sen(?)·cos(?)	cos(?)·cos(?)

Si se desea mover un punto en el espacio (x,y,z) con respecto de un solo ángulo, entonces se debe considerar que a=b=g.

El siguiente applet, muestra las transformaciones de una base ortonormal y de un punto (x,y,z) en el espacio tridimensional. Nota: Mover los puntos de las elipses.